O ecuație de gradul I este o egalitate în care necunoscuta (de obicei x) apare doar la puterea întâi. Rezolvarea ei înseamnă să găsești numărul care, pus în locul lui x, face egalitatea adevărată. Mai jos înveți metoda pas cu pas, cu exemple rezolvate și verificate.
Ce este o ecuație de gradul I
Forma generală este ax + b = 0, unde a și b sunt numere, iar a este diferit de 0. Dacă a ≠ 0, ecuația are o singură soluție: x = −b / a (conform articolului despre ecuația de gradul întâi de pe Wikipedia). De exemplu, 4x − 3 = 9 este o ecuație de gradul I.
Regula balanței
Gândește-te la egalitate ca la o balanță în echilibru. Ce faci pe un taler, faci și pe celălalt. Poți:
- să adaugi sau să scazi același număr în ambele părți;
- să înmulțești sau să împarți ambele părți cu același număr diferit de zero;
- să muți un termen în partea cealaltă, schimbându-i semnul.
Aceste operații nu schimbă soluția ecuației, deci obții ecuații echivalente, tot mai simple.
Pas cu pas: cum rezolvi
- Desfă parantezele (dacă sunt) și, la nevoie, elimină fracțiile înmulțind cu numitorul comun.
- Reduce termenii asemenea în fiecare parte.
- Mută termenii cu x într-o parte și numerele în cealaltă.
- Împarte la coeficientul lui x.
- Verifică: înlocuiește soluția în ecuația inițială.
Reține: verificarea durează zece secunde și te scutește de multe greșeli.
Exemple rezolvate
Exemplu rezolvat 1. x + 7 = 9. Scădem 7 din ambele părți: x = 9 − 7 = 2. Verificare: 2 + 7 = 9. Corect.
Exemplu rezolvat 2. 4x − 3 = 9. Adunăm 3: 4x = 12. Împărțim la 4: x = 3. Verificare: 4 · 3 − 3 = 9. Corect.
Exemplu rezolvat 3. 3(x − 2) = 2x + 5. Desfacem paranteza: 3x − 6 = 2x + 5. Mutăm 2x în stânga și −6 în dreapta: 3x − 2x = 5 + 6, deci x = 11. Verificare: 3 · (11 − 2) = 27 și 2 · 11 + 5 = 27. Corect.
Exemplu rezolvat 4. x/2 + x/3 = 10. Numitorul comun este 6. Înmulțim totul cu 6: 3x + 2x = 60, deci 5x = 60 și x = 12. Verificare: 12/2 + 12/3 = 6 + 4 = 10. Corect.
Exemplu rezolvat 5. 4/(x − 2) = 3/(x + 5). Aici x trebuie să fie diferit de 2 și de −5, ca să nu împărțim la zero. Înmulțim „în cruce”: 4(x + 5) = 3(x − 2), adică 4x + 20 = 3x − 6. Rezultă x = −6 − 20 = −26. Verificare: 4/(−28) = −1/7 și 3/(−21) = −1/7. Corect.
Vezi și lecția video
În lecția video de mai jos rezolvăm ecuații ca 3x = 6 și 4x − 3 = 9. Poți urmări și prima lecție despre ecuații liniare, rezolvarea unei ecuații liniare și ecuații liniare rezolvate. Pentru lecția următoare din același domeniu, vezi inecuațiile.
Lecția video este și în articolul Rezolvarea ecuațiilor 2.
Cazuri speciale
Uneori x dispare după reducerea termenilor. Dacă ajungi la o propoziție falsă, ecuația nu are soluție: 2x + 3 = 2x + 5 duce la 3 = 5, fals. Dacă ajungi la o propoziție mereu adevărată, orice număr este soluție: 2(x + 1) = 2x + 2 duce la 2 = 2.
Greșeli frecvente
- Uiți să schimbi semnul când muți un termen în cealaltă parte.
- Nu înmulțești toți termenii când desfaci paranteza: 3(x − 2) = 3x − 6, nu 3x − 2.
- Împarți doar o parte la coeficient. Împarte ambele părți.
- Nu verifici soluția, mai ales la ecuațiile cu fracții.
Exerciții propuse (cu răspunsuri)
- x − 5 = 12
- 5x + 2 = 27
- 2(x + 3) = x + 10
- 3x − 4 = x + 8
- x/4 + 1 = 5
Răspunsuri
1) x = 17. 2) x = 5. 3) 2x + 6 = x + 10, deci x = 4. 4) 2x = 12, deci x = 6. 5) x/4 = 4, deci x = 16.
Întrebări frecvente
Câte soluții are o ecuație de gradul I?
Una singură, dacă coeficientul lui x este diferit de zero: x = −b / a.
De ce schimbăm semnul când mutăm un termen?
Pentru că, de fapt, adunăm sau scădem același număr în ambele părți. Dacă ai + 3 într-o parte, scazi 3 din ambele părți și el dispare, apărând cu − în cealaltă.
Cum verific rezultatul?
Înlocuiești soluția în ecuația inițială și calculezi ambele părți. Dacă obții același număr, soluția este corectă.